Question

（2001•北京）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．

Answer

（1）要证PA是⊙O的切线，只要证∠PAO=90°即可，因为AB为直径，所以有∠CAB+∠CBA=90°，又∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°即PA是⊙O的切线．
（2）连接AD、BD；可设CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用x、y表示出DE、BE的长，由相交弦定理，即可求得x、y的比例关系；易证得△AEC∽△BED，根据所得成比例线段，即可求得BD的长，同理可设BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表达式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分别表示出AB2，即可得到关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长；
根据圆周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∴∠CAB+∠CBA=90°；
又∠PAC=∠B，
∴∠CAB+∠PAC=90°；
∴∠PAB=90°；
即PA是⊙O的切线．

（2）【解析】
设CE=6x，AE=2y，则DE=5x，BE=3y；
由相交弦定理，得：AE•EB=CE•DE，即：
2y•3y=5x•6x，解得：x=y；
∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，则有：；
∵AE=2y=2x，DE=5x，
∴，由于AC=8，则BD=4；
设BC=m，同理可求得AD=m；
∵AB是直径，∴△ACB、△ADB是直角三角形；
由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2=AD2+BD2，即：
82+m2=（m）2+（4）2，解得m=6；
故BC=6，AD=2；
∴AB==10，tan∠ECB=tan∠DAB==2．