Question

（2001•陕西）如图⊙O₁、⊙O₂点外切于点A，外公切线BC与⊙O₁切于点B，与⊙O₂切于点C，与O₂O₁的延长线交于点P，已知∠P=30度．
（1）求⊙O₁与⊙O₂半径的比；
（2）若⊙O₁半径为2m，求弧AB、弧AC及外公切线BC所围成的图形（阴影部分）的面积．

Answer

（1）求⊙O1与⊙O2半径的比，就要让两半径建立联系，连接O1B，O2C，可在Rt△PBO1，Rt△PCO2中利用直角三角形中的边与边的关系求出半径的比．题中∠P=30°，可知O1B=2r，O2C=2R，由此可知3r=R，即可得出两圆的半径比．
（2）求出弧所对的圆心角，利用弧长公式计算即可．阴影部分的面积=梯形的面积-两个扇形的面积．
【解析】
（1）连接O1B，O2C，
∠P=30°，
∴PO1=2r，PO2=2R，
∴2R=2r+r+R
R=3r
∴3r=R，
∴r：R=1：3；

（2）∠P=30°，
∴∠AO1B=120°，
∴弧AB==，弧AC==2π；
利用勾股定理可知：BP==2，PC==6，∴BC=4；
S阴影=S梯形O1O2CB-S扇形O1AB-S扇形O2AC=（2+6）×4÷2--6π=16-．