Question

（2000•海淀区）已知：关于x的方程x²+3x+a=0①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有实数根且k为正整数，求代数式的值．

Answer

先根据关于x的方程x2+3x+a=0①的两个实数根的倒数和等于3，根据一元二次方程根与系数的关系可得两根的和与两根的积，再根据+==3，得到关于a的方程，得a的值，再由关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0②有实数根，即判别式△≥0，k为正整数，求出k值，代入代数式求值．
解法一：设方程①的两个实数根为x1，x2
根据题意，得
∴=3，即=3．③
解得a=-1
经检验，a=-1是方程③的解，且使方程x2+3x-1=0有实数根．
将a=-1代入方程②，得（k-1）x2+3x+2=0
当k=1时，一元一次方程3x+2=0有实数根．
∴=0
当k≠1时，方程②为一元二次方程，
且△=9-8（k-1）≥0．
解得：k≤
∴k为正整数，且k≠1，
∴k=2
而k=2时，代数式无意义
综上所述，代数式的值为0．
解法二：设方程①的两个实数根为x1，x2
根据题意，得
∴==3且a≤．
解得a=-1，以下同解法一