Question

（2000•甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x²-2x-3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．
（1）求点M和N的坐标；
（2）求系数a的取值范围；
（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）可根据先求出方程x2-2x-3=0的两根，然后根据M，N的左右位置来确定它们的坐标．
（2）可先用交点式设出抛物线的解析式，由于抛物线过M，N，因此可将抛物线设为y=a（x2-2x-3），求∠MKN不小于90°时a的取值范围，那么可先求出∠MKN=90°时，a的值．当∠MKN=90°时，可根据射影定理求出OK的长，也就求出了a的值，进而可得出a的取值范围．（要注意的是抛物线开口向下的条件，即a＜0）．
（3）当y取最大值时，那么∠NKN必为90°，可根据（2）得出的∠MKN=90°时a的值，进而可求出抛物线的解析式，然后根据三角形MKN的面积求出P点纵坐标的绝对值，再将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标．
【解析】
（1）由题意：x2-2x-3=0，x=3，x=-1
由于N在点M的左侧，因此M，N的坐标分别是M（-1，0），N（3，0）

（2）抛物线与x轴交于M（-1，0），N（1，0）两点，则y=a（x2-2x-3）
抛物线开口向下，则a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
当∠MKN=90°时，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO：KO=KO：ON，=
∴a2=，a=-
由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范围是-≤a＜0；

（3）当y取最大值时，a=-，因此抛物线的解析式为y=-x2+x+；
设P点的坐标为（0，h），则有：
S△MPN=•MN•|h|=2，MN=4，因此|h|=，h=±．
当h=时，=-x2+x+：解得x=0或x=2．
当h=-时，-=-x2+x+：解得x=1+或1-．
因此P点的坐标为（0，）、（2，）、（1+，-）、（1-，-）．