Question

（2000•上海）已知关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer

（1）只需证明根的判别式恒大于0即可．
（2）把等号左边整理（x1-3）（x2-3）=x1x2-3（x1+x2）+9，再把一元二次方程根与系数的关系代入列出方程解则可．
【解析】
（1）判别式△=（2m-1）2-4m（m-2）
=4m2-4m+1-4m2+8m
=4m+1
∵m＞0
∴4m+1＞0
所以方程有两个不相等的实数根．

（2）由韦达定理得
x1+x2=
x1x2=
所以（x1-3）（x2-3）=5m
x1x2-3（x1+x2）+9=5m
-3×+9=5m
两边同时乘以m并化简
m-2-6m+3+9m=5m2
5m2-4m-1=0
（5m+1）（m-1）=0
解得m=1或m=-（舍去）
经检验m=1是方程的根．
所以m的值是1．