Question

（2000•绍兴）如图，以⊙O两条互相垂直的直径所在直线为轴建立平面直角坐标系，两坐标轴交⊙O于A，B，C，D四点，点P在弧CD上，连PA交y轴于点E，连CP并延长交y轴于点F．
（1）求∠FPE的度数；
（2）求证：OB²=OE•OF；
（3）若⊙O的半径为，以线段OE，OF的长为根的一元二次方程为x²-x+m=0，求直线CF的解析式；
（4）在（3）的条件下，过点P作⊙O的切线PM与x轴交于点M，求△PCM的面积．

Answer

（1）根据圆周角定理可知∠APC=90°，很显然∠FPE=90°．
（2）很显然本题要证的是△OCF和△OEA相似，这两个三角形中已知的条件有一组直角，而∠OAE和∠OCF是一组对顶角的余角因此也相等，得出这两个三角形相似后可知：OA•OC=OE•OF，而OA=OB=OC，由此可得证．
（3）根据韦达定理可知OE•OF=m，根据（2）的结论可知：OE•OF=3，因此m=3，据此可求出OE，OF的长，即可得出F的坐标．
根据C、F两点的坐标可用待定系数法求出直线CF的解析式．
（4）根据（2）可得出E点的坐标，也就能求出直线AE的解析式，联立直线CF的解析式即可得出P点坐标．
连接OP，则OP⊥PM，可先求出直线OP的解析式，然后根据OP⊥PM得出直线PM的解析式即可求出M点的坐标．
已知了M点的坐标就能求出MC的长，然后根据P点纵坐标即可求出△MCP的面积．
（另一种解法：先在直角三角形APC中，用AC的长和∠CAP的余弦值求出AP的长，同理求出PN，AN的长，即可得出ON的长．然后在直角三角形OPM中根据射影定理求出MN的长，即可求出MC的长，已知了MC和PN的长即可求出三角形PMC的面积．）
【解析】
（1）根据圆周角定理：∠APC=90°，∴∠FPE=90°．

（2）∵∠OAE=∠PFE=90°-∠OEA=90°-∠PEF，
∴∠OAE=∠EFP．
∵∠AOE=∠FOC=90°，
∴△AOE∽△FOC．
∴．
∵OA=OB=OC，
∴OB2=OE•OF．

（3）由题意知：OE•OF=m=OB2=3，
∴m=3．
∴x2-x+3=0，解得x=，x=2．
∵OF＞OE，
∴OE=，OF=2，即E（0，-），F（0，-2）；
设直线CF的解析式为y=kx+b，易知：C（-，0），则有：
，解得．
∴直线CF的解析式为y=-2x-2．

（4）过P作PN⊥x轴于N．
在直角三角形OAE中，OA=，OE=，因此AE=．
在直角三角形ACP中，AP=AC•cos∠OAE=AC•=2•=．
在直角三角形APN中，PN=AP•sin∠OAE=AP•=•=；
AN=AP•cos∠OAE=•=，
∴ON=AN-OA=．
在直角三角形MPO中，根据射影定理可得：
PN2=ON•MN，∴MN=，
∴MC=MN+PN-OC=．
∴S△PCM=•MC•PN=××=．