Question

（2000•山西）已知：如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点的坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0）与⊙C切于D点．
（1）求直线l的解析式；
（2）在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，求P点的坐标．

Answer

（1）根据题意，设直线l的解析式是y=kx+b，由三角形的有关性质可得A、B的坐标，用待定系数法容易求得直线的解析式，
（2）根据题意，B在AC的垂直平分线上，故△ABC为等腰三角形，由等腰三角形的性质，易得答案．
【解析】
（1）如图①，设直线l的解析式是y=kx+b，
连接DC，则∠ADC=90°，DC=1，AC=2，
∵△DOC为等边三角形，
∴∠DAC=30°；
设l与y轴的交点为B（0，y），则y=OAtan30°=．
由B（0，），A（-1，0）；
用待定系数法求得直线的解析式是y=x+，
或设D（x，y），作DM⊥x轴于M，
在Rt△ADC中：AD=
y=AD=，AM=AD•cos30°=，
x=-1=，
由D（，）与S（-1，0），
用待定系数法求解直线的解析式是：y=x+

（2）方法一：如图①．
①∵B在AC的垂直平分线上，∴△ABC为等腰三角形，
∴B即为所求的一个点P，即P1（0，）
②设P2（x2，y2）在直线l上，∵△CAP2为等腰三角形，
∴作P2G⊥x轴于G．在Rt△AGP2中，∵∠GAP2=30°，∴P2G=AP2=1
∴AG=，∴P2（--1，-1）（8分）
③设P3（x3，y3）在直线l上，∵△CAP3为等腰三角形，∴P3A=AC．
作P3F=P3A=1，AF=P3Fcot30°=．∴P3（-1，1）
④设P4（x4，y4）在直线l上，连P4C，
∵△CAP4为等腰三角形，
∴P4C=CA=2；
作P4E’⊥x轴于E’，可证E’和E重合．
在Rt△P4CE中，P4C=2∠P4CE=60°，
∴CE=P4C=1，P4E=，
∴P4（2，），（12分）
∴所求的点P有4个，坐标分别是（0，），（--1，1），，（2，）
方法二：如图②
设P2（x2，y2）在l上，
∴P2满足l的解析式，
则P2（x2，x2+），且△CAP2为等腰三角形，
∴P2C=AC=2，
作P2E’⊥x轴于E’，可证E’和E重合，在Rt△P2CE中，
（x2-1）2+[（x2+1）]2=22，
解之，得x2=2或x2=-1；
而x2=-1不合题意，舍去，
∴P2（2，）．
③设P3（x3，y3）在l上，
∴P3满足l的解析式．则P3（x3，x3+），
且△CAP3为等腰三角形，∴P3A=AC=2；
作P3F⊥x轴于F．在Rt△P3FA中，（-1-x3）2+[（x3+1）]2=22，
（x3+1）2+（x3+1）2=4；
解之，得x3=-1，或x3=--1，
∴满足△CAP3为等腰三角形的点P3有两个，
即P3（-1，1）或（--1，-1）；
∴所求的点P有4个，坐标分别是（0，），（2，），（-1，1），（--1，-1）．