Question

（2000•海南）如图，CB是半圆的直径，AC与半圆相切于C点，AB与半圆相交于D点，在AC上任取一点E，连接BE交半圆于F点．求证：AB•BD=EB•BF．

Answer

本题解法较多，提供两种作为参考；
（1）连接CD、CF；由圆周角定理，易知CF⊥BE，CD⊥AB；在Rt△CBE、Rt△CBA中，由射影定理可知：AB•BD及BE•BF正好都等于BC2，由此得解．
（2）将所求的乘积式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即连接DF、CD，证△BDF∽△BEA．
证明：证法一：连接CD、CF；
∵BC是直径，
∴∠CDB=90°，∠CFB=90°；（4分）
又∵AC与圆相切于C点，CB是圆的直径，
∴∠ACB=90°；（5分）
在Rt△ABC中，BC2=BD•BA，在Rt△EBC中，BC2=BF•BE；（7分）
∴BD•BA=BF•BE，即AB•BD=EB•BF．（8分）

证法二：连接CD、DF；（1分）
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF，（2分）
又∵AC切⊙O于C，CB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠BDC=90°；（3分）
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF；（4分）
又∵∠DBF=∠EBA（同角）（5分）
∴△DBF∽△EBA，（6分）
∴BD：EB=BF：AB，（7分）
∴AB•BD=EB•BF．（8分）