Question

（2000•海淀区）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E．
（1）求证：AB•DA=CD•BE；
（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）

Answer

（1）点A是弧BD的中点，根据弦切角定理和圆周角定理知∠1=∠3，由圆内接四边形的性质知∠ABE=∠D，于是有△ABE∽△CDA⇒⇒AB•DA=CD•BE；
（2）要使结论仍然成立，则应有△ABE∽△CDA，故可使=．当=时有∠EAB=∠ACD，而由圆内接四边形的性质知∠ABE=∠ADC，故有△ABE∽△CDA，得⇒AB•DA=CD•BE
（1）证明：连接AC
∵A是的中点，
∴．
∵EA切⊙O于点A，点C在⊙O上，
∴∠1=∠3=∠2
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
∴
∴AB•DA=CD•BE．

（2）【解析】

如图，具备条件=（BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD等），使原结论成立