Question

（2000•山东）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合．
（1）在以下五个结论中：①∠CQP=45°；②PQ=AC；③以A、P、C为顶点的三角形全等于△PQB；④以A、P、C为顶点的三角形全等于△CPQ；⑤以A、P、C为顶点的三角形相似于△CPQ．一定不成立的是______．（只需将结论的代号填入题中的模线上）．
（2）设AC=BC=1，当CQ的长取不同的值时，△CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有的情况；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）由题意可知一定不成立的有：①，④．
（2）过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP1⊥AB于P1点．设CO=t，则OP1=5，CD=2t，OB=1-t．先根据相似三角形△ABC∽△OBP1的性质求得t值，即得到线段CD的长度，再分情况讨论．①Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，②Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜2-2，以CQ为直径的圆与AB相离，③Q点在DB上时（不与D、B重合），2-2＜CQ＜1，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3．
【解析】
（1）①，④（4分）

（2）可能．
例如：过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP1⊥AB于P1点．（5分）
∴CO=OP1以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切，切点为P1，与CB的交点为D．
设CO=t，则OP1=5，CD=2t，OB=1-t．
由△ABC∽△OBP1，得
，
∴，
∴t=-1，
∴CD=2-2（7分），
∴当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P1，连CP1、P1Q，△CP1Q为直角三角形，此时共有两个直角三角形（8分）
当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜2-2，以CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP．（9分）
当Q点在DB上时（不与D、B重合），2-2＜CQ＜1，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3．分别连接P2、P3与点C和Q，得直角三角形CQP2和CQP3，此时有三个直角三角形．（10分）