Question

（1999•重庆）关于x的方程x²+2x+2，其中p是实数．
（1）若方程没有实数根，求P的范围；
（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．

Answer

（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；
（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．
【解析】
（1）令=y，①
则原方程变为y2+2y-（p2+2p）=0．（3分）
∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y1=p，y2=-2-p．（6分）
若原方程没有实数根，只须
解这个不等式组，得-2＜p＜0．（9分）

（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②
而y2=-2-p＜0，舍去．（11分）
将②式平方，整理得x2+2x-（p2-2p）=0．③（12分）
令△=4+4（p2-2p）=4（p2-2p+1）=4（p-1）2=0，解得p=1．（15分）
当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，
∴x1=x2=-1．（17分）
经检验，当p=1时，x1=x2=-1是原方程的根．（18分）