Question

（1999•武汉）已知：如图，在直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，其解析式为y=-x+2．又O₁是x轴上一点，且⊙O₁与直线AB切于点C，与y轴切于原点O．
（1）求点C的纵坐标；
（2）以AO为直径作⊙O₂，交直线AB于D，交⊙O₁于N，连ON并延长交CD于G，求△ODG的面积；
（3）另有一圆过点O₁，与y轴切于点O₂，与直线AB交于M、P两点，求证：O₁M•O₁P=2．

Answer

（1）由解析式解出两点的坐标，过C点作CH垂直x轴，进而求纵横坐标．
（2）设直线AB与⊙O2的交点为D连接两点，求出CD，然后求出DG，从而求出面积．
（3）连接O1C，设⊙O1半径为r，由相似定理，进而证明．
（1）【解析】
由y=-x+2，得OA=2，OB=
∴AB=，
由AC=2，得CB=，
过C点作CH⊥x轴，垂足为H，得CH∥y轴，
则，
CH=，即点C的纵坐标为．

（2）【解析】
∵OA为⊙O2的直径，
∴OD⊥AB，
由OD•AB=OA•0B，得OD=，
则AD==，
CD=2-=．
设DG=x，由切割线定理得GD•GA=GN•GO．
∴x（x+）=（-x）2．解得：x=，∴DG=，
∴S△ODG=OD•DG=．

（3）证明：连接O1C，设⊙O1半径为r，
将C点纵坐标代入y=-x+2，得x=，
∴OH=，O1H=-r．
在Rt△CHO1中，由勾股定理得．
故⊙O1和⊙O2都是半径为1的等圆，
过点O1且与y轴切于点O2的圆是以N为圆心，1为半径的圆．
作⊙N的直径O1Q，连接PQ．O1Q=2，O1C=1．
∵∠PQO1=∠CMO1，
∴Rt△PQO1∽Rt△CMO1，
∴，
∴O1M•O1P=O1Q•O1C=2×1=2．