Question

（1999•杭州）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：
（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围；
（2）面积S是否存在着最小值？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍．

Answer

（1）首先可寻找四边形CGEF与题中图形之间的关系，读图可得，S四边形CGEF=S梯形ABCD-S△EGD-S△EFA-S△BCF，据此即可求出四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式，再由AB、CD、AD的值求取x的取值范围；
（2）把（1）中所得的二次函数化为顶点式的形式，再根据实际情况求解；
（3）由题意，可得x2-7x+18=4x，解方程即可．
【解析】
（1）S四边形CGEF=S梯形ABCD-S△EGD-S△EFA-S△BCF
=×（3+6）×4-
=x2-7x+18（3分）
∵x＞0，且3-x＞0，4-x＞0，6-x＞0，
∴0＜x＜3（1分）
则所求的函数表达式是S=x2-7x+18（0＜x＜3）（1分）

（2）S=x2-7x+18=，
由于x=不在x的取值范围内，而x也取不到0，（2分）
则面积S的最小值不存在．（1分）

（3）由题意，令S=4x，代入（1）题中求得的S关于x的表达式，
得x2-7x+18=4x，解方程，得x1=2，x2=9（2分）
∵0＜x＜3，∴x2=9不合题意．（1分）
则当x=2时，S的数值等于x的4倍．