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(1999•武汉)已知抛物线y=x2+kx+k-1. (1)求证:无论k为什么实...

(1999•武汉)已知抛物线y=x2+kx+k-1.
(1)求证:无论k为什么实数,抛物线经过x轴上的一定点;
(2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且满足x1<x2,|x1|<|x2|,S△ABC=6.问:过A,B,C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点?试说明理由.如果有,求出其坐标.

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(1)令y=0,解方程x2+kx+k-1=0,即可求出抛物线与x轴两交点的横坐标,定点为与k值无关的点; (2)过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D,根据A、B、C三点坐标,讨论k的范围,表示△ABC的面积,列方程求k,再根据对称性求D点坐标. (1)证明:令y=O,有x2+kx+k-1=0, 解得x1=-1,x2=1-k, ∴抛物线通过x轴上一定点(-1,0). (2)【解析】 过A、B、C三点的圆与抛物线有第四个交点D. ∵|x1|<|x2|,C点在y轴上, ∴点C不是抛物线的顶点, 由于圆和抛物线都是轴对称图形, 过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形, 所以过A、B、C三点的圆与抛物线的第四个交点与C点是对称点. ∵x1=-1<0,x1<x2,|x1|<|x2|, ∴x2>1, 即x2=1-k>1, ∴k<0 ∵S△ABC=6, ∴|1-k|•(1+|1-k|)=6 ∴(1-k)2+(1-k)-12=0, 解得1-k=4或1-k=3. ∴k=5(舍去),k=-2, ∴y=x2-2x-3, 其对称轴为x=1, 根据对称性,D点坐标为(2,-3).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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