Question

（1999•内江）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（x₂，0）和B（x₁，0）两点，A点在原点左方，B点在原点右方，与y轴交于C（0，y₁），且知C点在原点上方，y₁＞x₁，BC=10，x₁，y₁是方程x²-（k+9）x+3（k+11）=0的两根，直线y=mx+n过A、C两点，且tan∠CAB=4．
（1）求：A、B、C三点的坐标；
（2）求：过A、C两点的一次函数的解析式；
（3）求：过A、B、C三点的二次函数的解析式．

Answer

（1）由于x1，y1是方程x2-（k+9）x+3（k+11）=0的两根，根据韦达定理可得出x1+y1=k+9，x1y1=3（k+11），根据BC=10，即x12+y12=100，联立三式即可求出k的值，也就能求出x1，y1的值．得出B，C的坐标后，根据tan∠CAB=4即可求出A点的坐标．
（2）已知了A、C的坐标，可用待定系数法求出直线AC的解析式．
（3）可根据A、B、C三点的坐标用待定系数法求解．
【解析】
（1）∵x1，y1是原方程的两根，
∴，
又∵BC=10，
∴x12+y12=102
即：（x1+y1）2-2x1y1=100，
∴（k+9）2-2×3（k+11）=100
即：k2+12k-85=0
∴k1=5，k2=-17
当k=5时，∴，
解得：或
但∵y1＞x1
∴取
当k=-17时，x1+y1=-17+9＜0
当∵x1＞0，y1＞0
∴此时无解．
故：B（6，0），C（0，8），
∵tan∠CAB=4，即=4，
∴|x2|=2⇒x2=-2或2
但∵x2＜0，
∴只取x2=-2
故：A（-2，0）．
（2）∵直线y=mx+n过A、C两点
∴，
解得：
故；过A、C两点的一次函数的解析式为：y=4x+8．
（3）∵A（-2，0），B（6，0）两点在此二次函数上，
∴可设此函数为：y=a（x+2）（x-6）
又∵C（0，8）在此二次函数上，
∴8=a（0+2）（0-6）⇒a=-
∴可设此函数为：y=-（x+2）（x-6）
即：y=-x2+x+．