Question

（1999•辽宁）如图，抛物线y=ax²-3x+c交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向于C点，过A、B、C三点作⊙D．若⊙D与y轴相切．
（1）求a、c满足的关系式；
（2）设∠ACB=a，求tana；
（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系．

Answer

（1）由题意，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A、B两点，即A、B的横坐标是方程ax2-3x+c=0的两根，再由圆的切割线定理，易求a，c的关系；
（2）作辅助线，连接PD，交x轴于E，连接AD、BD，根据几何关系求出AE，DE的关系，从而求出tana的值；
（3）连接PA，求出P点坐标，在Rt△PAE中，求出β的正切值，从而判断直线PA与⊙D的位置关系．
【解析】
（1）由题意，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A、B两点，
∴A、B的横坐标是方程ax2-3x+c=0的两根，
设为x1、x2（x2＞x1），C的纵坐标是c，
又∵y轴与⊙D相切，
∴OA•OB=OC2．
∴x1•x2=c2
又由方程ax2-3x+c=0，知x1•x2=
∴c2=，即ac=1；

（2）连接PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连接AD、BD，
∴AE=AB，∠ACB=∠ADB=∠ADE=a，
∵a＞0，x2＞x1，
∴AB=x2-x1=，
∴AE=，
又ED=OC=c，
∴；

（3）设∠PAB=β，
∵P点坐标为（）且a＞0，
∴在Rt△PAE中，PE=，
∴tanβ==，
∴tanβ=tanα，
∴β=α，
∴∠PAE=∠ADE，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠PAE+∠DAE=90°，
即∠PAD=90°，
∴PA和⊙D相切．