Question

（1999•贵阳）如图，已知抛物线y=-x²+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tanα-tanβ=2，∠ACB=90°．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．

Answer

（1）根据抛物线的解析式知C（0，b），可设出A、B的坐标，在Rt△ACB中，CO⊥AB，根据射影定理可得到OA•OB=OC2，可由韦达定理用b表示出OA•OB和OC2的值，根据上述等量关系即可得到b的值，由此求得C点坐标．
（2）分别表示出tanα、tanβ的值，根据两者的等量关系及韦达定理即可求得a的值，从而确定二次函数的解析式．
（3）由抛物线的解析式，可求得P点坐标，进而可求得直线PC的解析式，延长PC交x轴于D，根据直线PC的解析式即可得到D点的坐标，那么四边形ABPC的面积即可由△PDB和△ADC的面积差求得．
【解析】
（1）根据题意设点A（x1，O）、点B（x2，O），且C（O，b）；
x1＜0，x2＞0，b＞0，
∵x1，x2是方程-x2+ax+b=0的两根，
∴x1+x2=a，x1•x2=-b；（1分）
在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴OC2=OA•OB，
∵OA=-x1，OB=x2，
∴b2=-x1•x2=b，（2分）
∵b＞0，
∴b=1，
∴C（0，1）；（3分）

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，
tanα-tanβ==--=-==2，（4分）
∴a=2，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+1．（5分）

（3）∵y=-x2+2x+1，
∴顶点P的坐标为（1，2），
当-x2+2x+1=0时，x=1±，
∴A（1-，0），B（1+，0），（6分）
延长PC交x轴于点D，过C、P的直线为y=x+1，
∴点D的坐标为（-1，0），（7分）
S四边形ABPC=S△DPB-S△DCA
=•|DB|•yp|AD|•yc
=-
=．（8分）