Question

（1999•成都）已知直线y=x和y=-x+m，二次函数y=x²+px+q的图象的顶点为M．
（1）若M恰好在直线y=x与y=-x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．
（2）在（1）的条件下，若直线y=-x+m过点D（0，-3），求二次函数y=x²+px+q的表达式，并作出其大致图象．
（3）在（2）的条件下，若二次函数y=x²+px+q的图象与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，试在直线y=x上求异于M的点P，使点P在△CMA的外接圆上．

Answer

（1）由直线y=x和y=-x+m相交，解出交点，二次函数y=x2+px+q的图象的顶点为M，M是交点，写出二次函数带有m的函数关系式，再解出根的判别式，可证交点的个数．
（2）由直线y=-x+m过点D（0，-3），解出m，即可写出函数关系式，作出图象．
（3）由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=90°，MC为△CMA外接圆直径，设过点P（n，n），分别作PN⊥y轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的延长线交于点Q．由勾股定理|MP|2=|MQ|2+|QP|2，然后解出n．
（1）证明：由有=-x+m
∴，，，
交点（，），
此时二次函数为y=（x-m）2+m=m③
由②、③联立，消去y，有

△=[-（）2]-4（）
=m2+
=1＞0
∴无论m为何实数值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．

（2）【解析】
∵直线y=-x+m过点D（0，-3），
∴-3=0+m，
∴m=-3，
∴M（-2，-1），
∴二次函数为y=（x+2）2-1=x2+4x+3
=（x+3）（x+1），
图象如下图：

（3）【解析】
由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=90°，
∴MC为△CMA外接圆直径．
∵P在y=x上，可设P（n，n），
由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，
∴∠CPM=90°，
过点P分别作PN⊥y轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，
MS的延长线与PR的延长线交于点Q．
由勾股定理，有|MP|2=|MQ|2+|QP|2，
即|MP|2=（n+2）2
|CP|2=|NC|2+|NP|2=，
|CM|2=20
而|MP|2+|CP|2=|CM|2，
∴（n+2）2++n2=20，
即，
∴5n2+4n-12=0，
（5n-6）（n+2）=0，
∴n1=，n2=-2，
而n2=-2即是M点的横坐标，与题意不合，故舍去，
∴n=，此时，
∴P点坐标为（，）．