Question

（1999•湖南）已知：如图，EB是⊙O的直径，且EB=6．在BE的延长线上取点P，使EP=EB．A是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D．过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H．连接ED和FH．
（1）若AE=2，求AD的长；
（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，
①是否总有？试证明你的结论；
②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）由于AD是⊙O的切线，并且已知AE、BE的长，即可由切割线定理求得AD的长．
（2）①欲证所求的比例式，只需证得DE∥FH即可．连接BD，设BD与FH的交点为G，由于HD切⊙O于D，根据弦切角定理知∠HDB=∠DEB，在Rt△DEB中，易证得∠DEB=∠FDB，则∠FDB=∠HDB，即可证得△DFB≌△DHB，由此可得BH=BF，即△BFH是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得BD⊥FH，而BD⊥DE，则FH∥DE，由此得证．
②由于BH=BF，根据EB的长，可用y表示出EF的值，进而在Rt△DEB中，根据射影定理得到y、x的函数关系式；求x的取值范围时，只需考虑x的最大值即可，当A、P重合时，若连接OD，则OD⊥PH，根据平行线分线段成比例定理，可求得BH的长，进而可得到BF、EF的值，然后根据射影定理即可求得DE的长，由此求得x的取值范围．
【解析】
（1）∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，
∴AD2=AE•AB=2×（2+6）=16．
∴AD=4．（2分）

（2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合），
总有（3分）
证明：连接DB，交FH于G．
∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEB．
又∵BH⊥AH，BE为直径，
∴∠BDE=90°．
有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH．
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，
DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴△DFB≌△DHB．（4分）
∴BH=BF．∴△BHF是等腰三角形．
∴BG⊥FH，即BD⊥FH．
∴ED∥FH，∴（5分）
②∵ED=x，BH=y，BE=6，BF=BH，
∴EF=6-y，
又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，
∴△DFE∽△BDE，
∴
即ED2=EF•EB．
∴x2=6（6-y）即y=-x2+6（7分）
∴ED=x＞0，
当A从E向左移动，ED逐渐增大，
当A和P重合时，ED最大，
这时，连接OD，则OD⊥PH，
∴OD∥BH．
又PO=PE+EO=6+3=9，PB=12，
，BH=
∴BF=BH=4，EF=EB-BF=6-4=2．
由ED2=EF•EB，得：x2=2×6=12，
∵x＞0，∴x=2，
∴0＜x≤2，
[或由BH=4=y，代入y=-x2+6中，得x=2]
故所求函数关系式为y=-x2+6（0＜x≤2）．