Question

（1999•河南）AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线相交于D，和⊙O相交于E．如果AC平分∠DAB，
（1）求证：∠ADC=90°；
（2）若AB=2r，AD=r，求DE．

Answer

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质及平行线的判定定理求出AD∥OC，再根据切线的性质解答即可．
（2）连接BC，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，由（1）可求出Rt△ABC∽Rt△ACD，根据相似三角形的性质及勾股定理解答即可．
（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，（1分）
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，
∴AD∥OC，（2分）
∴AD⊥CD，
即∠ADC=90°．（3分）

（2）【解析】
连接BC，则∠ACB=90°，（4分）
由（1）得∠2=∠3，∠ACB=∠ADC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，（5分）
即AC2=AB•AD=2r，
又∵CD2=AC2-AD2=，
且CD2=DE•AD，
∴DE=．（7分）