Question

（1999•南京）如图1，⊙O₁和⊙O₂内切于点P，⊙O₂的弦BE与⊙O₁相切于C，PB交⊙O₁于D，PC的延长线交⊙O₂于A，连接AB，CD，PE．
（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②；
（2）若⊙O₁的切线BE经过⊙O₂的圆心，⊙O₁、⊙O₂的半径分别是r、R，其中R≥2r，如图2，求证：PC•AC是定值．

Answer

（1）①过点P作两圆公切线MN．根据弦切角定理，发现平行线CD∥AB．再结合平行线的性质和弦切角定理进一步证明∠ABC=∠BCD=∠BPA，根据圆周角定理的推论得到∠ABC=∠EPA，从而证明结论；
②首先根据两个角对应相等证明△ABC∽△APB，得到；再根据CD∥AB，得到，从而再根据比例的性质进行变形即可证明结论；
（2）连接O1C，PO2．根据相交弦定理，得PC•AC=EC•BC，只需求得EC、BC的长．则关键是求得CO2的长，根据切线的性质发现Rt△CO1O2，根据两圆内切，则圆心距等于两圆的半径之差，从而根据勾股定理求得CO2的长，此题则迎刃而解．
证明：（1）①过点P作两圆公切线MN．
则∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O1的切线，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴，
∴．
∵CD∥AB，
∴．
即．

（2）连接O1C，PO1．
则PO2经过点O1，且O1C=r，O1O2=R-r．
∵BE与⊙O1相切，
∴O1C⊥BE．
在Rt△CO1O2中，
CO2==，
∴BC=BO2+CO2=R+．
EC=EO2-CO2=R-．
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．