Question

（1999•杭州）Rt△ABC中，∠A=Rt∠，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（ ）
A．AH＜AE＜AD
B．AH＜AD＜AE
C．AH≤AD≤AE
D．AH≤AE≤AD

Answer

此题应分两种情况讨论：①等腰直角三角形，②普通的直角三角形．然后根据各边所对角的大小来判断各线段的大小关系．
【解析】
①Rt△ABC中，AB=AC；（图①）
根据等腰三角形三线合一的性质知：
AD、AH、AE互相重合，此时AD=AH=AE；
②Rt△ABC中，AB≠AC；（设AC＞AB，如图②）
在Rt△AHE中，由于AE是斜边，故AE＞AH；
同理可证AD＞AH；
∵∠AED＞∠AHD=90°，∠ADH＜∠AHE=90°
∴∠AED＞∠ADE；
根据大角对大边知：AD＞AE；
即AD＞AE＞AH；
综上所述，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD；
故选D．