Question

（1999•山西）如图，已知正方形ABCD的边长为1，M、N分别在AB、AD边上，若△CMN为正三角形，则此正三角形的边长为    ．

Answer

先设DN=x，AM=y，利用勾股定理可分别求出等边三角形MNC的三边长，联立，解二元二次方程组，可求x、y，从而求出等边三角形MNC的边长．
【解析】
设DN=x，AM=y，
在Rt△CDN中，有CD2+DN2=CN2，即1+x2=CN2；
在Rt△AMN中，有AN2+AM2=MN2，即（1-x）2+y2=MN2；
在Rt△BCM中，有BM2+BC2=CM2，即（1-y）2+1=CM2；
∵△CMN是等边三角形，
∴MN=CM=CN，
∴1+x2=（1-x）2+y2=（1-y）2+1，
解得y=-1，x=2-，
∴CN2=1+（2-）2=8-4=（-）2，
∴CN=-．