Question

（1999•辽宁）如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点A，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于D．AD的延长线交⊙O₂于M，连接AB、AC分别交⊙O₁于E、F，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）求证：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O₁的半径r₁=3，⊙O₂的半径r₂=8，BC是⊙O₂的直径，求AB和AC的长（AB＞AC）．

Answer

（1）作两圆的外公切线AT，根据弦切角定理得：∠TAB=∠AFE=∠ACB，则EF∥BC；
（2）根据弦切角定理得：∠ADB=∠ACM，推得△ADB∽△ACM，得出比例式，再转化成乘积式AB•AC=AD•AM；
（3）连接O1D，由BC切⊙O1于D，根据勾股定理得O2D=4，再由O1E∥O2B，得出比例式，推出，根据切割线定理，求AB和AC的长．
（1）证明：如图，过A作⊙O1、⊙O2的公切线AT
∵∠TAB=∠AFE=∠ACB，∴EF∥BC，

（2）证明：连接CM，
∵∠ABD=∠AMC，∠TAM=∠ADB，∠TAM=∠ACM，
∴∠ADB=∠ACM，
∴△ADB∽△ACM，
∴
即AB•AC=AD•AM．

（3）【解析】
连接O1D，∴O1D⊥BC，连接O2O1并延长，必过A点，
在Rt△O1O2D中，可求得O2D=4，
∴BD=12，CD=4．
∵O1E∥O2B，∴
∴
∵BD2=AB•BE，∴122=AB•
∴AB=，AC=．