Question

（1999•北京）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，过C点作CD⊥AB，垂足为D，且AD=m，BD=n，AC²：BC²=2：1，又关于x的方程x²-2（n-1）x+m²-12=0两实数根的差的平方小于192，求：m，n为整数时，一次函数y=mx+n的解析式．

Answer

根据△ABC∽△ACD，求出m和n之间的关系式；再根据根与系数的关系求出m、n的取值范围，然后估算，即可求得一次函数的解析式．
【解析】
易证△ABC∽△ACD，∴=，AC2=AD•AB，同理BC2=BD•AB，
∴=，∵=，∴=，∴m=2n…①，
∵关于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0有两实数根，
∴△=[-2（n-1）]2-4××（m2-12）≥0，
∴4n2-m2-8n+16≥0，把①代入上式得n≤2…②，
设关于x的方程x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根分别为x1，x2，
则x1+x2=8（n-1），x1•x2=4（m2-2），
依题意有（x1-x2）2＜192，即[8（n-1）]2-16（m2-12）＜192，
∴4n2-m2-8n+4＜0，把①式代入上式得n＞…③，由②、③得＜n≤2，
∵m、n为整数，∴n的整数值为1，2，
当n=1，m=2时，所求解析式为y=2x+1，当n=2，m=4时，解析式为y=4x+2．