Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由三角形S=OB•=可得点B的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），点A在其上，求得a；
（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，由三角形相似，得到C点坐标．
（4）设p（x，y），直线AB为y=kx+b，解得k、b，由S四BPOD=S△BPO+S△BOD，S△AOD=S△AOB-S△BOD，两面积正比可知，求出x．
【解析】
（1）由题意得OB•=，
∴B（-2，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，），得，
∴y=x2+x，

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线
的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴
与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，
∵△BCE∽△BAF，
∴，
∴CE==，
∴C（-1，）．

（4）存在．如图，设P（x，y），直线AB为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线AB为y=x+，
S四BPOD=S△BPO+S△BOD=|OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|
=x+-（x2+x），
=-x2-x+x+，
=-x2-x+，
∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=-×2×|x+|=-x+，
∴==，
∴x1=-，x2=1（舍去），
∴p（-，-），
又∵S△BOD=x+，
∴==，
∴x1=-，x2=-2．
P（-2，0），不符合题意．
∴存在，点P坐标是（-，-）．