Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接EF，求的值．

Answer

（1）连接OD，证OD⊥AC即可．
（2）可通过△BEF∽△BCA，从而根据相似比求得EF：AC的值．
（1）证明：连接OD，
∵∠C=90o
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ODB+∠BDC=90o
∴∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径．
设⊙O的半径为r，
∵AB2=BC2+CA2=92+122=225，
∴AB=15．
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90o
∴△ADO∽△ACB．
∴=，即=．
∴r=．
∴BE=．
又∵BE是⊙O的直径，
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC．
∴===．