Question

如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=BD；②GD=GH； ③S_△CDG=S_{四边形DHGE}；④△BDH∽△BGD，⑤图中有8个等腰三角形．其中正确的是    （填序号）

Answer

①先证明四边形DECB是平行四边形，然后由平行四边形的对边相等得出EC=BD；
②、③根据已知可证明△CHG≌△EGD，则∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=∠GHD（等角的余角相等），∴GD=GH（等边对等角），S△CDG=S▭DHGE；
④根据①～③及外角定理求得∠BDG=∠BHD=112.5°，再由公共角∠DBG=∠HBD，易证明△BDH∽△BGD；
⑤根据①～④的证明过程，找出图中的等腰三角形．
【解析】
①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC；
又F是AD的延长线上的一点，DE=AD，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴四边形DECB是平行四边形，
∴EC=BD（平行四边形的对边平行且相等）；
故本选项正确；

②∵DF=BD，
∴∠DFB=∠DBF；
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠CGB=∠CBG，
∴CG=BC=DE；
∵DE=DC，
∴∠DEG=∠DCE，
∵∠CHG=90°+22.5°=112.5°，∠EGD=180°-（180°-45°）÷2=112.5°，
∴∠CHG=∠EGD
∴△CHG≌△EGD，
∴GD=GH（全等三角形的对应边相等）；
故本选项正确；

③∵△CHG≌△EGD，
∴∠EDG=∠CGB=∠CBF
∴∠GDH=∠GHD
∴S△CDG=S▭DHGE
故本选项正确；

④∵AF∥BC，
∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等）；
∵DF=DB，
∴∠DBF=∠DFB（等边对等角），
∴∠FBC=∠DBF=22.5°，
∴∠BHD=90°+22.5°=112.5°（外角定理）；
∠CHB=∠DHG=90°-22.5°=67.5°（对顶角相等）；
∵GD=GH，
∴∠HDG=∠GHD=67.5°（等边对等角），
∴∠BDG=∠BDC+∠HDG=45°+67.5°=112.5°，
∴∠BDG=∠BHD；
在△BDH和△BGD中，
∠BDG=∠BHD，
∠DBG=∠HBD（公共角），
∴△BDH∽△BGD；
故本选项正确；
⑤根据①～④知，图中的等腰三角形有共九个，故本选项错误；
故答案是：①②③④．