Question

如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O₁与⊙O相交于点A、C，且⊙O₁与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O₁的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
（2）当BD=OB时，根据（1）的函数关系式求得y=，x=6．分两种情况来解答O1A的值①当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2；②当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6；
（3）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=，然后由三角形的内角和定理求得
∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．
【解析】
（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=，OE=．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴，∵OD=y+5，∴．
∴y关于x的函数解析式为：．
定义域为：．（1分）

（2）当BD=OB时，，．
∴x=6．
∴AE=，OE=．
当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2，．
当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，．
⊙O1的半径为或．

（3）存在，当点C为的中点时，△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．