Question

一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”法，请你依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A、D、E按逆时针方向），
（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E
①求证：△ABD∽△DCE；
②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC延长线相交于点E′，是否存在点D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD与AE′的长；若不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）①由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE．
②（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合；
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE；
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．三种情况讨论．
（2）存在，可证△ADC∽△AE′D，得到CD=AC=2，进而得出AE′的长．
【解析】
（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2-2，
所以AE=AC-CE=4-2．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以AE=DE=AC=1．
故AE的长为1；

（2）存在（只有一种情况）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
从而推出∠ADC=∠DE′A．证得△ADC∽△AE′D．
所以=，
又∵AD=DE′，
∴CD=AC=2．
∵△ADC∽△AE′D，
∴=，
∴AD 2=AC•AE′，
过点A做AH⊥BC于点H，
则AH=，DH=2+，
则AD 2=AH 2+DH 2，
∴（）2+（2+）2=2AE′，
∴AE′=4+2．