Question

如图，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，设∠ABD=α，已知sinα是方程25x²-35x+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF的面积等于y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当E，F两点在什么位置时，y有最小值并求出这个最小值．

Answer

（1）本题中△AEF的面积无法直接求出，可用梯形ABCF的面积-△ABE的面积-△CEF的面积来求．关键是求出AD，BC的长．先通过解方程求出sinα的值，进而可在直角三角形ABD中，根据BD的长和α的正弦值求出AD，AB的长，即可表示出AB、BE、CE、CF的长，然后按上面所说的△AEF的面积计算方法即可求出y，x的函数关系式．
（2）根据（1）得出的函数的性质即可得出y的最小值以及对应的x的值．可根据x的值来确定E、F两点的位置．
【解析】
（1）解方程可得sinα1=或sinα2=，
∵AD＞AB，
∴sinα=，舍去
取sinα=，则有AD=16，AB=12
∵BE=x，
∴EC=16-x，FC=8-EC=x-8，DF=12-FC=20-x．
则△AEF的面积y=16×12-×12x-×16（20-x）-（16-x）（x-8）
=x2-10x+96（8＜x＜16）．

（2）y=x2-10x+96=（x-10）2+46，
所以当x=10，即BE=10，CF=2时，y有最小值为46．