Question

如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立（ ）

A．有内切圆无外接圆
B．有外接圆无内切圆
C．既有内切圆，也有外接圆
D．以上情况都不对

Answer

根据切线长定理，四边形有内切圆时，四边形的对边之和相等．根据圆的内接四边形的性质可以得到，四边形如果有外接圆，四边形的对角和应为180°．
【解析】
如图：
因为⊙O1与⊙O2是等圆，所以相交的两段相等，
则：∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN．
连接O1M，O1C，O2N，O2C，
∵CM，CN分别是两圆的切线，
∴∠O1MC=∠O2NC=90°，
在直角△O1MC和直角△O2NC中，
O1M=O2N，∠MO1C＜∠NO2C，
∴MC＞NC
∴AM+NC≠AN+MC，
所以四边形AMCN没有内切圆．
连接AB，则∠CMN=∠MAB，∠CNM=∠NAB，
在△AMN中，∠AMN+∠ANM+∠MAN=180°，
∴∠CMN+∠CNM+∠AMN+∠ANM=180°，
即：∠AMC+∠ANC=180°，
所以四边形AMCN有外接圆．
故选B．