Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），A（7，4），且对称轴l与x轴交于点B（5，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点E、F分别是y轴、对称轴l上的点，且四边形EOBF是矩形，点是BF上一点，将△BOC沿着直线OC翻折，B点与线段EF上的D点重合，求D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点G是对称轴l上的点，直线DG交CO于点H，S_△DOH：S_△DHC=1：4，求G点坐标．

Answer

（1）利用待定系数法列方程组即可求出二次函数的系数，从而得到其解析式；
（2）根据翻折不变性，得到相等的线段和相等的角：BO=DO=5，CD=BC=，∠OBC=∠ODC=90°，再根据互余关系，得到∠EOD=∠FDC，从而证出△EOD∽△FDC，再根据相似三角形的性质和矩形的性质列方程解答；
（3）过点H作HP⊥OB，根据等高的三角形面积比等于底的比，列出等式，求出OH与OC的比，从而得出D、H坐标，解出直线DG的表达，进而求出G点坐标．
【解析】
（1）由题意得（1分），
解得，
∴．（3分）

（2）∵△BOC与△DOC重合，，
∴，∠OBC=∠ODC=90°，
∴∠EDO+∠FDC=90°，又∠EDO+∠EOD=90°，
∴∠EOD=∠FDC，
∵∠OED=∠DFC=90°，
∴△EOD∽△FDC，（2分）
∴，（1分）
∵四边形OEFB是矩形，
∴EF=OB，EO=FB，
设FC=x，则ED=2x，DF=5-2x，
∴EO=10-4x，
∴，解，得，
∴ED=3，EO=4，
∴D（3，4）．（1分）

（3）过点H作HP⊥OB，垂足为点P．
∵S△DOH：S△DHC=1：4，
∴，（1分）
∵HP⊥OB，CB⊥OB，
∴HP∥BC，
∴，
∴，
∴，（1分）
∴经过点D（3，4），的直线DG的表达式为，（1分）
∴．（1分）