Question

如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线①y=x²+2x-1，判断下列抛物线②y=-x²+2x+1；③y=x²+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C₁：y=（x+1）²-2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₁与C₂关联，求抛物线C₂的解析式．
（3）A为抛物线C₁：y=（x+1）²-2的顶点，B为与抛物线C₁关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；
（2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；
（3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．
【解析】
（1）∵①抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2的顶点坐标为M（-1，-2），
∴②当x=-1时，y=-x2+2x+1=-1-2+1=-2，
∴点M在抛物线②上；
∵③当x=-1时，y=x2+2x+1=1-2+1=0，
∴点M不在抛物线③上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，其顶点坐标为（1，2），
经验算：（1，2）在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；

（2）抛物线C1：y=（x+1）2-2的顶点M的坐标为（-1，-2），
∵动点P的坐标为（t，2），
∴点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，
∴点N的纵坐标为6，
当y=6时，（x+1）2-2=6，
解得：x1=7，x2=-9，
①设抛物C2的解析式为：y=a（x-7）2+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C2上，
∴-2=a（-1-7）2+6，
∴a=-．
∴抛物线C2的解析式为：y=-（x-7）2+6；
②设抛物C2的解析式为：y=a（x+9）2+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C2上，
∴-2=a（-1+9）2+6，
∴a=-．
∴抛物线C2的解析式为：y=-（x+9）2+6；  
（3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类：
①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F，则△BCF≌△CAH，
∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c-1），
当点B在抛物线C1：y=（x+1）2-2上时，c-1=（c+2+1）2-2，
解得：c=1．
②当A，B，C顺时针分布时，如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D，
同理可得：点B′的坐标为（-c-2，c+1），
当点B′在抛物线C1：y=（x+1）2-2上时，c+1=（-c-2+1）2-2，
解得：c=3+4或c=3-4．
综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C1（0，1），C2（0，3+4），C3（0，3-4）．