Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，D为BC边的中点，连接DP．
（1）DP是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为5，求DP的长．

Answer

（1）连接OP和BP，可证出∠BPD=∠PBD，再由OB=OP得出∠OPB=∠OBP，从而得出∠OPD=90°，从而证出DP是⊙O的切线；
（2）连接OD，在Rt△ABC中，可求得AC，再根据三角形的中位线定理得出OD的长，则求出DP的长．
【解析】
（1）证明：连接OP和BP，
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，
∴∠APB=90°，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°
在Rt△BPC中，D为BC边的中点
∴BD=PD
∴∠BPD=∠PBD
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP
∴∠OPD=∠OPB+∠BPD=∠OBP+∠PBD=∠ABC=90°
即PD⊥OP
∴DP是⊙O的切线

（2）连接OD
在Rt△ABC中
∵，⊙O的半径为5
∴
∵OA=OB，DC=DB
∴OD=AC=，
在Rt△OPD中，PD===．