Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点O为边AC的中点，点D为边AB上一点，过点C作AB的平行线，交DO的延长线于点E．
（1）证明：四边形ADCE为平行四边形；
（2）当四边形ADCE为怎样的四边形时，AD=BD，并加以证明．

Answer

（1）可证明△ADO≌△CEO，则OD=OE，根据一组对边平行且相等得四边形为平行四边形证出即可；
（2）当四边形ADCE为菱形时，AD=BD．因为四边形ADCE为菱形，则AD=CD，从而得出AD=BD．
证明：（1）∵点O为边AC中点，
∴AO=CO（1分）
又∵CE∥AB，
∴∠DAC=∠ECA，∠ADE=∠CED（2分）
∴△ADO≌△CEO，
∴OD=OE，（2分）
∴四边形ADCE为平行四边形；（1分）

（2）当四边形ADCE为菱形时，AD=BD，（1分）
∵四边形ADCE为菱形，
∴AD=CD，
∴∠BAC=∠ACD（2分）
∵∠BAC+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，（1分）
∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，
∴AD=BD（2分）