Question

在如图所示的平面直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA=2，∠AOC=60°，以OA为直径的⊙P经过点C，交BC于点D，DE⊥AB，交AB于E．
（1）直接写出点A和B的坐标；
（2）求证：DE是⊙P的切线．

Answer

（1）延长BA与x轴交点F，已知四边形OABC为平行四边形，所以BF∥y轴，所以AF垂直于x轴，得直角三角形AOF，由已知OA=2，∠AOC=60°，得∠AOF=30°，所以AF=OA=1，根据勾股定理得OF=，所以得点A的坐标为（，1），连接AC，由圆周角定理得∠ACO=90°，得四边形ACOF为矩形，所以OC=AF=1，又已知四边形OABC为平行四边形，所以AB=OC=1，所以BF=AB+AF=2，所以点B的坐标为（，2）．
（2）要想证明DE是⊙P的切线．就得证PD⊥DE，连接PC、PD，得到∠PCO=60°，可证∠PCD=60°由已知平行四边形又得∠B=60°，已知DE⊥AB，所以可证∠BDE=30°，从而证∠PDE=90°，即PD⊥DE．得证．
【解析】
（1）点A和B的坐标分别为（，1），（，2）．

（2）证明：连接PC、PD，
∴PO=PC=PD（⊙P的半径），∴∠PCO=∠AOC=60°，
又∵四边形OABC为平行四边形，∠AOC=60°，
∴∠DCQ=∠AOC=60°，
∴∠PCD=180°-∠PCO-∠DCY=60°，
∴∠PDC=∠PCD=60°
又∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC=60°，
已知DE⊥AB，∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，
∴∠PDE=180°-∠PDC-∠BDE
=180°-60°-30°=90°，
∴PD⊥DE，
∴DE是⊙P的切线．