Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

Answer

（1）P点的横坐标与N点的横坐标相同，求出CN的长即可得出P点的横坐标，然后通过求直线AC的函数解析式来得出P点的纵坐标，由此可求出P点的坐标；
（2）可通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值．
△MPA中，MA=OA-OM，而MA边上的高就是P点的纵坐标，由此可根据三角形的面积计算公式求出S与x的函数关系式，进而根据函数的性质得出S的最大值和对应的x的值；
（3）可分三种情况进行讨论：
①MP=AP时，延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA，那么此时有AQ=BN=MA，由此可求出x的值．
②当MP=AM时，可根据MP、AM的不同表达式得出一个关于x的方程即可求出x的值．
③当MP=MA时，可在直角三角形PMQ中，根据勾股定理求出x的值．
综上所述可得出符合条件的x的值．
【解析】
（1）由题意可知C（0，8），又A（6，0），
所以直线AC解析式为：y=-x+8，
因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6-x，代入直线AC中得y=，
所以P点坐标为（6-x，x）；

（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=6-x，MA边上的高为x，
其中，0≤x＜6，
∴S=（6-x）×x=（-x2+6x）=-（x-3）2+6，
∴S的最大值为6，此时x=3；
（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA
①若MP=PA，
∵PQ⊥MA，
∴MQ=QA=x，
∴3x=6，
∴x=2；
②若MP=MA，则MQ=6-2x，PQ=x，PM=MA=6-x，
在Rt△PMQ中，
∵PM2=MQ2+PQ2，
∴（6-x）2=（6-2x）2+（x）2，
∴x=；
③若PA=AM，
∵PA=x，AM=6-x，
∴x=6-x，
∴x=，
综上所述，x=2，或x=，或x=．