Question

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer

（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC=60°
（2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8
（3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种．
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，
④当点M运动到C时，M与C重合，
求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．
【解析】
（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．

（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=PO=4，
则PO=2CO=8；

（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°
∴
∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，
此时点M经过的弧长为．

②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．
∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°
∴或
∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．

③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO
∴∠BOM3=60°，
∴或
∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．

④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO，
此时点M经过的弧长为或．