Question

如图①，将一个内角为120°的菱形纸片沿较长对角线剪开，得到图②的两张全等的三角形纸片，将这两张三角形纸片摆放成图③的形式，点B、F、C、D在同一条直线上，AB分别交DE、EF于点P、M，AC交DE于点N．
（1）找出图③中的一对全等三角形（△ABC与△DEF全等除外），并加以证明；
（2）当P为AB的中点时，求△APN与△DCN的面积比．

Answer

（1）我们可以利用菱形的性质及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM．
（2）要求△APN与△DCN的面积比，我们可以根据菱形的性质及已知，得到PN：CN=，根据相似三角形的判定，得到△ANP∽△DNC，即△APN与△DCN的面积比为3：1．
【解析】
（1）答案不唯一，如：△APN≌△EPM．
证明：由菱形性质得∠A=∠B=∠D=∠E，
∴PB=PD．
∵AB=DE，
∴PA=PE．
∵∠EPM=∠APN，
∴△APN≌△EPM．（3分）

（2）连接CP．
∵CA=CB，P为AB中点，
∴CP⊥AB．
∵∠ACB=∠DFE=120°，AC=BC=DF=FE，
∴∠D=∠A=∠B=30°．
∴∠APN=60°．
∴∠CNP=90°，∠CPN=30°．
∴PN：CN=：1．
∵∠D=∠A，∠ANP=∠DNC，
∴△ANP∽△DNC．
∴S△ANP：S△DNC=PN2：CN2=3：1．
即△APN与△DCN的面积比为3：1．（7分）