Question

在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计：
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．

观察计算：
（1）在方案一中，d₁=______km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d₂的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，
d₂=______

Answer

运用勾股定理和轴对称求出d2，根据方法指导，先求d12-d22，再根据差进行分类讨论选取合理方案．
【解析】
（1）∵A和A'关于直线l对称，

∴PA=PA'，
d1=PB+BA=PB+PA'=a+2；
故答案为：a+2；

（2）因为BK2=a2-1，
A'B2=BK2+A'K2=a2-1+52=a2+24
所以d2=．
探索归纳：
（1）①当a=4时，d1=6，d2=，d1＜d2；
②当a=6时，d1=8，d2=，d1＞d2；
（2）=4a-20．
①当4a-20＞0，即a＞5时，d12-d22＞0，
∴d1-d2＞0，
∴d1＞d2；
②当4a-20=0，即a=5时，d12-d22=0，
∴d1-d2=0，
∴d1=d2
③当4a-20＜0，即a＜5时，d12-d22＜0，
∴d1-d2＜0，
∴d1＜d2
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a=5时，选方案一或方案二；
当1＜a＜5（缺a＞1不扣分）时，选方案一．