Question

（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG=______（AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是______．

Answer

（1）延长AG交BC于N，延长AF交BC于M，根据AF⊥BD，AG⊥CE，求证△AGC≌Rt△CGN，可得AC=CN，AG=NG，同理可证：AF=FM，AB=BM．然后得出GF是△AMN的中位线即可．
（2）根据GF是△AMN的中位线，利用AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，利用等量代换即可．
（3）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，即可求得GF=（AC+BC-AB）
（1）FG=（AB+BC+AC）；

（2）答：FG=（AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴Rt△AGC≌Rt△CGN
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=MN=（AB+AC-BC）；

（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BC-AB）．