有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计):①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC;
②腰长为4、顶角为36°的等腰三角形JKL;
③腰长为5、顶角为120°的等腰三角形OMN;
④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS;
⑤长为4且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ.
它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环.
我们规定:如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作”;否则,便称为“不可操作”.
(1)证明:第④种塑料板“可操作”;求:从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率.
考点分析:
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观察下列各个等式:1
2=1,1
2+2
2=5,1
2+2
2+3
2=14,1
2+2
2+3
2+4
2=30,….
(1)你能从中推导出计算1
2+2
2+3
2+4
2+…+n
2的公式吗?请写出你的推导过程;
(2)请你用(1)中推导出的公式来解决下列问题:
已知:如图,抛物线y=-x
2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B,将线段OAn等分,分点从左到右依次为A
1、A
2、A
3、A
4、A
5、A
6、…、A
n-1,分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B
1、B
2、B
3、B
4、B
5、B
6、…、B
n-1,设△OBA
1、
△A
1B
1A
2、△A
2B
2A
3、△A
3B
3A
4、…、△A
n-1B
n-1A的面积依次为S
1、S
2、S
3、S
4、…、Sn.
①当n=2010时,求S
1+S
2+S
3+S
4+S
5+…+S
2010的值;
②试探究:当n取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?
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如图,在四边形ABCD中,已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3:1:4,点E在边AD上,CE交BD于G,设
.
(1)求
的值;
(2)若点H分线段BE成
的两段,且AH
2+BH
2+DH
2=p
2,试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和.
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如果有理数m可以表示成2x
2-6xy+5y
2(其中x、y是任意有理数)的形式,我们就称m为“世博数”.
(1)两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗?为什么?
(2)证明:两个“世博数”a、b(b≠0)之商也是“世博数”.
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赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯仲,且在整个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕已久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题:有一种密码把英文按字母分解,英文中的a,b,c,…,z26个字母(不论大小写)依次用1,2,3,…,26这26个自然数表示,并给出如下一个变换公式:
;已知对于任意的实数x,记号[x]表示不超过x的最大整数;将英文字母转化成密码,如
,即h变成q,再如
,即k变成f.他们给出下列一组密码:etwcvcjwejncjwwcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言.现在就请你把它翻译出来,并简单地写出翻译过程.
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设p、q、r为素数,则方程p
3=p
2+q
2+r
2的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( p,q,r )是
.
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