Question

如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

Answer

（1）先在直角三角形AOB中根据OB和cos60°，利用三角函数的定义求出OA，然后根据角平分线的定义得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函数的定义即可求出OC的长，根据等角对等边可知BC等于OC；
（2）分两种情况考虑：第一，P在BC边上，根据速度和时间t得到PB等于CQ都等于t，过Q作DE与AC垂直，QE等于CQsin60°，CP等于BC减去PB，利用三角形的面积公式即可列出S与t的函数关系式；第二，当P在边CQ上时，同理可得S与t的关系式；
（3）分三种情况考虑：第一，OP为等腰三角形的底边时，由∠MOP等于∠MPO都等于30°，则∠QOP为60°，得到PQ与OQ垂直，根据30°所对的直角边等于斜边的一半得到OP等于2OQ，分别表示出OP和OQ代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第二，当OP为等腰三角形的腰时，过P作PN⊥OQ，得到∠QPN=45°，所以△QPN为等腰直角三角形得到PN=QN，分别表示出PN和QN列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第三，当OP=PM时，PQ∥y，不存在三角形．
【解析】
（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，
，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；

（2）当0＜t≤2时，=，
当2≤t＜4时=-t2+t-2，
综上：；

（3）（i）当MO=MP时，∠MOP=∠MPO=30°
∴PQ⊥OQ，
∴OP=2OQ，
∴4-t=2（t-2），
∴；
（ii）当OP=OM时，过P作PN⊥OQ于N，
则∠QPN=45°，
∴PN=QN，
∴，解得
（iii）当OP=PM时，PQ∥y，
此时∠MOP=∠OMP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；
综上，当或时，△OPM为等腰三角形．