Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn；④EF不可能是△ABC的中位线．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

此题涉及的知识点较多，逐一分析解答．
①根据三角形内角和定理求解；
②根据两圆位置关系的判定方法求解；
③根据三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积求解；
④若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．
【解析】
①中，∠BOC=180°-（ ∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．所以①正确；
②中，∠EBO=∠EOB，则EB=EO，同理FO=FC；则以E为圆心，BE为半径的圆经过点O．同理，以F为圆心，CF为半径的圆也经过点O，则这两个圆外切，所以②正确；
③中，连接AO，则AO也是此三角形的角平分线，则点O到AB与到AC的距离相等，则三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积，又高相等，则等于 mn，这与原题不符，所以此项错误；
④连AO，设EF是△ABC的中位线，
∵EF∥BC，∠ABO=∠CBO，
∴OE=BE=•AB，
∴∠AOB=90°（三角形一边上的中线等于这边的一半，是直角三角形）
同理∠AOC=90°，
∴O的应该在BC上，由WF过O点，
EF与BC重合，
∴E、F不可能是三角形ABC的中点，即EF不可能是△ABC的中位线．
所以此项正确；
正确的结论是①、②、④，
故选C．