Question

如图，已知直线a的解析式为y=3x+6，直线a与x轴．y轴分别相交于A．B两点，直线b经过B．C两点，点C的坐标为（8，0）．直线a沿x轴正方向平移m个单位（0＜m＜10）得到直线a′，直线a′与x轴．直线b分别相交于点M．N．
（1）求sin∠BCA的值；
（2）当△MCN的面积为时，求直线a′的函数解析式；
（3）将△MCN沿直线a′对折得到△MC′N，把△MC′N与四边形AMNB的重叠部分面积记为S，求S关于m的函数解析式，并求当S最大时四边形MCNC′的周长．

Answer

（1）根据直线的性质，求出B、C的坐标，在直角三角形BOC中，根据正弦函数的定义即可求出sin∠BCA的值；
（2）求出S△ABC，根据△MCN∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出M点的坐标，利用待定系数法求直线a′的函数解析式即可；
（3）根据翻折不变性，可知S△MC′N=S△MCN，利用（2）的结论即可得到其面积表达式，然后即可根据m的取值范围推出三角形面积的最大值．
【解析】
（1）对于y=3x+6，可求B（0，6）．（1分）
∴OB=6，
∵C（8，0），
∴OC=8．
∴BC==10．（1分）
∴sin∠BCA===．（1分）

（2）由y=3x+6可求A（-2，0），
∴AC=BC=10．
∴S△ABC=AC×OB=×10×6=30．（1分）
∵a′∥a，
∴△MCN∽△ABC．（1分）
∴=（）2，
∵S△MCN=，
∴=．（1分）
∴MC=5．
∴M（3，0）．（1分）
设a′为y=3x+b，代入M（3，0）得b=-9．
∴直线a′解析式为y=3x-9．（1分）

（3）由（2）可知，当m=5时，点C′正好在AB上．
∴当5≤m≤10时，点C′在△ABC内，如图所示．
此时，重叠部分面积S=S△MC′N=S△MCN
=（）2•S△ABC=30×（）2=（10-m）2，（2分）
当0≤m≤5时，点C′在△AB外内，如图所示．
∵AC=BC=10，
∴△ABC是等腰三角形，易知△AEM，
△BFN，△MCN都是与△ABC相似的等腰三角形．（1分）
∴S△AEM=（）2•S△ABC=S△BFN，S△MCN=（）2•S△ABC，
∴重叠部分面积S=30-（）2×30×2-（）2×30，
=6m-m2（1分）
综上可知：
显然，在5≤m＜10范围内，当m=5时，S最大=；而根据二次函数性质，在0＜m＜5范围内，当m=时，S最大=10．
所以，在0＜m＜10时，当m=时，S最大=10．（1分）
易知MCNC′是菱形，所以当S最大时，
四边形MCNC′的周长=4×（10-m）=4×（10-）=．（1分）