Question

如图，抛物线与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线点D．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）若梯形ACDB的对角线AC、BD交于点E，求点E的坐标，并求经过A、B、E三点的抛物线的解析式；
（3）点P是直线CD上一点，且△PBC与△ABC相似，求符合条件的P点坐标．

Answer

（1）把x=0，y=0分别代入解析式，即可求出A、B、C的坐标，由CD∥x轴得到C和D的纵坐标相等（是-2）从而求出D的坐标，利用梯形的面积公式求出即可；
（2）根据抛物线的对称性求出E的横坐标，过E作EN⊥AB，就可得到比例式，进一步求出E的纵坐标，即过、B、E三点的抛物线的顶点坐标，即可求出解析式；
（3）由已知相似可得比例式，能求出CP的值，进而求出P的坐标．
【解析】
（1），
当y=0时，-x2+x-2=0，
解得：x1=1，x2=4，
当x=0时，y=-2，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∵CD∥x轴，
∴D点的纵坐标也是-2，
把y=-2代入得：
-x2+x-2=-2，
解得：x3=0，x4=5，
D点的坐标是：（5，-2），
S梯形ACDB=×[（4-1）+5]×|-2|，
=8．
所以梯形ABCD的面积是8．

（2）由抛物线的对称性有，
过E作EN⊥AB于N，，
，
，
∴，
设：经过A、B、E三点的抛物线的解析式为：y=a-，
把A（1，0）代入解得：a=，
所以经过A、B、E三点的抛物线的解析式是：，
即y═x2-x+．

（3）当点P在C的右侧，
当∠CAB=∠CBP时，
=，=，
PB=，
设P（a，-2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理得：22+（4-a）2=（）2，
a=（此时∠CAB≠∠CBP舍去），a=，
∴P（，-2）；
当∠CPB=∠CAB时，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠PCB，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠ACB=∠CBP，
∴AC∥PB，
∴四边形ACPB是平行四边形，
∴AB=CP，
∵A（1，0），B（4，0），
∴CP=AB=3，
∵C（0，-2），CP∥AB，
∴P（3，-2），
当点P在C的左侧，由题意有钝角∠BAC≠钝角∠PCB，此时不存在．
所以符合条件的P点坐标是P（3，-2）和P（，-2）．