Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是    ．

Answer

设DE的中点为F，圆F与AB的切点为P，连接FP，连接CF，CP，则有FP⊥AB；FC+FP=DE，由三角形的三边关系知，CF+FP＞CP；只有当点F在CP上时，FC+FP=PC有最小值为CP的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CP时，DE=CP有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CP=BC•AC÷AB=4.8．
【解析】
如图，设DE的中点为F，圆F与AB的切点为P，连接FP，连接CF，CP，则FP⊥AB．
∵AB=10，，
∴AC=8，BC=6
∵∠ACB=90°，
∴FC+FP=DE，
∴CF+FP＞CP，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CP时，PC=DE有最小值，
∴DE=CP===4.8
故答案为4.8．