Question

如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠A=∠B=45°，∠C=30°，线段OA=-1．求阴影部分的面积（结果保留π）

Answer

延长AO交BC于点D，连接OB，由∠A=∠ABC=45°，得到AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据垂径定理得到BD=CD．在Rt△COD中，设OD=x，∠C=30°，得到OC=2x，CD=x=AD，则OA=AD-OD=x-x=（-1）x=-1，解得x=1，则OD=1，OC=2，BC=2CD=2，分别利用三角形和扇形的面积公式计算S扇形OBC，和S△COB，然后利用S阴影=S扇形OBC-S△COB计算即可．
【解析】
延长AO交BC于点D，连接OB．
∵∠A=∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△COD中，设OD=x，
∵∠C=30°，
∴∠COD=60°，OC=2x，CD=x．
∴∠COB=120°，AD=x．
∴OA=AD-OD=x-x=（-1）x．
而OA=-1，
∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2．
∴S阴影=S扇形OBC-S△COB=π×22-×2×1=π-．