Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动正方形DEFG的顶点D，E分别在边AB，AC上的运动（D不与A，B重合），且边DE一直保持与边BC平行．
（1）求△ABC的面积；
（2）当边FG与边BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．根据等腰三角形的性质和勾股定理可求的AH，然后利用三角形的面积公式即可求解．
（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即可求得正方形DEFG的边长；
（3）如图2，根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AD，这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．然后再分别根据当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC和，当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，求y即可．
【解析】
（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．
∵AB=AC=5，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BH=CH=3．
∴AH=4．
∴S△ABC=×BC×AH=12；

（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）
∵△ADE∽△ABC，
∴，即．
解得a=．
故正方形DEFG的边长为；

（3）如图2，∵△ADE∽△ABC，
∴，即AD=2．
这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．
当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC，
∴，即DE=x．
∴y=DE2==x2；
当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，
∴，即．
∴DP=（5-x）．
∴y=DE×DP=x×（5-x）=x-x2．
故所求函数关系式为y=